高玩分析：扫雷第一步先戳哪里最高效

扫雷作为策略游戏，需要游戏者精确的判断。在面对一个超大雷阵时，如何才能做到“迅风扫落叶”？这当然需要一定的技巧，而技巧的高下之分，其实从第一步就已经开始。

　　Windows系统保证了扫雷的第一步无论点击哪个方块都是安全的。一名普通玩家一上来大概会很随意地点击一个方块，反正不晓得哪个是雷又肯定是安全的，点哪不一样。但对高手来说，却是每一步都要运筹帷幄。

　　在扫雷游戏中，如果你点击的方块附近都没有地雷，点击的后果就是一片没有雷的区域瞬间展开了，然后我们就可以根据区域边缘的数字慢慢排雷。

　　于是问题来了：第一步点击什么位置碰到安全区域的几率更大？是角、边还是中间？这当然需要算一算。

扫雷也是有学问的

　　金角银边草肚皮

　　首先不难看出，点击某个方块出现一片安全区域的条件是这个方块的周边没有地雷。假设我们第一次点击的方块处在盘面中间的位置，那么就需要它周围的8个方块都没有雷；如果方块在盘面的4条边上，则是5个方块；在角上是3个方块。

金角银边草肚皮

　　假如我们第一次点击的方块在盘面中间，那么出现安全区域的概率就等于它周围8个方块都没有雷的概率(暂且不论这个安全区 域可以有多大)。如下图所示，令N表示盘面上格子的总数，M表示地雷的个数，前面说过因为第一次点击的一定不是雷，所以这时候场上还剩N-1个格子和M个 地雷，于是图中右下角那个格子不是雷的概率就是(N-M-1)/(N-1)。

分析

　　类似地，当前场上还剩N-2个格子和M个雷，所以下一个格子依然不是雷的概率是(N-M-2)/(N-2)。

继续分析

　　依此类推，最后可以发现，第一次点击的格子，其周围没有雷的概率是：

有点长

　　对于边和角的情况，推导的过程完全类似，只是上述乘积的项数不一样——边上只有5项，角上只有3项。

　　根据游戏的设置，将N和M的取值代入这个表达式中，最终可以得到三种难度下三种策略各自出现安全区的可能性大小：

统计学规律

　　所以得出的结论是，“从角上开局”！

安全区有大有小

　　当然，看到这里你可能有个疑问，虽然说第一步点击角出现安全区的概率最大，但安全区域的面积也有大有小。一个直观的想法是，虽然角上出现安全区域的可能性最大，但其能扩展出的面积也最受限制，而在中间的位置，虽然安全区出现的可能性最小，但是一旦出现，这个区域可以向四周发散，能扩展出的面积也随之增大。这两个因素相互制约，究竟谁能最终胜出？

　　我们转而考虑另一个指标，也就是某一个方块被点击后出现的安全区域的平均面积。这个指标在概率论和统计学中称为期望值。但因为安全区域面积的期望大小很难从理论上推导出来，所以在这里我们利用了蒙特卡罗模拟的办法来对它进行计算。其主要流程就是在电脑中模拟很多次扫雷的过程(比如10万次)，然后把每一次的结果记录下来，最后做一次平均。

　　下图是初级模式下游戏开始第一步，点击每个格子出现安全区域的期望面积，可以看出，颜色越浅的地方安全区域面积倾向于越大，在图中即为四个角的位置，平均下来一次可以击出约16个格子。最“差”的地方则是从外向里第二圈的四个顶点，仅为10个格子左右。这其实也符合记录。初级扫雷的世界纪录是1秒，世界上很多人达到了这一点。在1秒的时间里完成初级扫雷其实属于碰运气，最可能的方法就是直接点击4个角的方块。

初级

　　类似地，中级和高级的图如下所示：

中级和高级

　　其中颜色最浅的地方都指向了四条边的中心。

　　所以，如果考虑的是连击区域的大小，那么在初级模式下还是应该优先选择四个角的位置；而对于中级和高级模式，则是边的中心其大小的期望值最大。

　　模拟结果存在不足

　　然而上面用蒙特卡罗方法得出的结果却并不就是我们想要的答案。计算机模拟的只是第一步点击哪里出现安全区域的期望面积最大，但实际上，第一次点击出现的安全区域面积越大，下一次点击未知区域出现安全区域的概率也就越小，区域面积也会越小。如果只是贪图第一步捡一个大便宜，而让之后的操作寸步难行，那未免得不偿失。

　　另一方面，并非每一个扫雷局都是有解的，有时候根据现有的局面，并不能够判断最后剩下的几个方块哪个是雷哪个不是，例如下图这种情况，剩下两个方块各自有雷的概率都是50%。

这个你怎么点？

　　出现这种情况，除了因为地雷布局的原因，还和游戏者的操作有关。试想辛辛苦苦大半天，最后却只能“谋事在人成事在天”，未免太亏。而如果第一步就点击角落，自然就降低这种局面出现的概率。

　　对于扫雷游戏来说，首要目的是要排出全部地雷，其次是尽量缩短游戏时间。根据前面的推算，我们知道，首先点击角无疑会让这个游戏变得更为简单和容易，并且也不会为之后的操作带来什么麻烦，作为一名技术流高手，第一步首先点击角落的方块，无疑是最保险和高效的。

结论很简单

延伸阅读：想扫雷高手？先练好逻辑吧

　　扫雷作为策略游戏，需要游戏者精确的判断。现在扫雷高级的官方最快纪录是33.95秒，中级则是由一个波兰玩家保持的8.5秒，而初级纪录是1秒，世界上很多人达到了这一点。在1秒的时间里完成初级扫雷，据测算概率在0.00058%至0.00119%之间(属于运气题)，最可能的方法是直接点击四个角的方块。下边我们就要将雷与雷之间的规律给你揪出来，并且深入思考其中的内涵。让你以后面对扫雷时，缩短与记录的差距，战无不胜！

　　从简单雷区入手

　　下图是一个初级的雷区，并且标注了两颗雷的位置，你能将剩下的地雷扫描出来吗？

这个很简单吧

　　经过逐一排查，可以很轻松的确定雷区中的6颗地雷所在位置：

结论

　　再来看一个简单的“雷区”：

这个看似不难，实际上……

　　通过逐步扫描每一个方块会发现：首先最左边的和最右边的两个格子都一定是地雷，从左数第二个空格子和从右数第二个空格子 也都是地雷，由于数字1的关系，从左数第3个格子和从右数第3个格子都不是地雷，翻开一定是数字1……这样一直下去，最后你会发现最中间的两个空格子，不 管有没有地雷，都和周围格子上的数字不符。也就是说这样的雷区有bug，是无解的。

　　雷区中的逻辑门

　　怎么判断一个雷区是否有bug？又怎么判断雷区中地雷的具体位置呢？难道一定要从头到尾将雷区扫描一遍吗？

　　其实这些雷区里其实藏着一个规律。我们用数学方法来分析了上例的雷区：

　　在之前提到的这两个雷区里，把还没有翻开的格子交叉标记上字母x和x’。可以看到：当x的格子有雷时，x’格子一定没有 地雷，反之亦然。如果将最左边的空格子作为输入，把最右边的格子作为输出，输入结果和输出结果一定是一样或者相反的。如果是相反的，这相当于一个 NOT(“非”)门电子元件。如果是一样的，就有趣了，这样的一片雷区就具备了电路导线的性质！

就是这样的

　　在这里，雷区被看成了一个数字逻辑电路。执行这些“或”、“与”、“非”等逻辑运算的电路则被称为——逻辑门。任何复杂的逻辑电路都可由这些逻辑门组成。

　　逻辑门是集成电路上的基本组件。简单的逻辑门可由晶体管组成。这些晶体管的组合可以使代表两种型号的高低电平在通过它们 后产生信号。而高低电平可以分别代表逻辑上的真假或二进制中的0和1，从而实现逻辑运算。具体到扫雷游戏里，也就是说，逻辑门可以用于判断一系列格子中的 地雷的具体位置，而且它如同电路传导一样，精确而迅速。

　　常见的(也是扫雷中用到的)逻辑门包括“与”门、“或”门、“非”门等。将它们组合使用就可以实现更复杂的运算——完成复杂情形下的扫雷，这种方法比按照规则缓慢推进的扫雷方法要节省很多时间。

原理图

复杂雷区中的精确判断

　　在简单的雷区中小试牛刀后，带着发现的规律，让我们进行一次实战演习。下图是高级扫雷游戏中的一个典型的雷区：

如何去做

　　你能在不翻开格子的情况下，直接指出黄格子中有无地雷吗？ 如果将雷区随意改变一点——左上角的一个格子下移一位，结果又如何呢？

如何去做

　　你可能需要考量全局，从某个点开始逐步推理，将雷区全部扫描一遍，才能判断，而当雷区任意改变一点时，你都要重新来过，才能再次解答。这无疑是一种巨大成本负担。

　　实际上我们可以很快速地给出答案：第一个雷区的黄格子中无雷，而第二个雷区的黄格子中一定有雷。

　　这是怎么做到的？其实将上述的逻辑门引入到这个复杂的雷区中，一切都会变得简单而清晰起来。

看成电路就好分析了

　　雷区内靠近边界、可以直接确定是地雷的位置都插上了标示旗，剩下的位置标上了不同的字母。把一个有地雷格子看作1，没有地雷的看作0。最左面的格子(u、v)作为输入，最右面的格子(t)作为输出。按照扫雷游戏的规则，经过一步步推算，它们之间的关系就是：

　　( u , v , t ) = ( 1 , 1 , 1 ) 或 ( 1 , 0 , 0 ) 或 ( 0 , 1 , 0 ) 或 ( 0 , 0 , 0 )

　　显然，这个雷区被归纳成了一个AND门，它不仅轻松化解了这个扫雷难题，而且把雷区的规律揭示出来了。如此一来，当你掌握扫雷中这些逻辑门规律并加以练习后，就能够达到精确、快速的“机械化”扫雷水准。到那时，一个新纪录或许就会诞生了。

　　数学家的扫雷研究

　　将扫雷问题抽象化从而缩短游戏时间的人，也不仅仅是扫雷发烧玩家。一些数学家也十分关注这个游戏背后的数学意义。

　　英国一位数学家用扫雷游戏中的逻辑规律构建了一系列电子元件，用电子电路模拟雷区。他试图将一个的给定的雷区图案交由计 算机来判断是否可解。如果随着格子数量的增加，电脑的计算量增长不是很快，就是P问题，如果计算量增加的很快，就是NP问题。计算机判断雷区是否可解，需 要这类问题属于P问题才可以。

　　对于几种基本的电路元件(AND、OR、NOT)，如果将很多个这样的元件组合起来，相互连接，就会产生很多个输入、输出口。判断最后哪些输出结果可以产生，哪些不可以产生的这类问题，被称为SAT问题，它属于一个经典的NP完全问题。

　　而英国数学家的这个问题在一些时候等同于一个复杂电子电路的SAT问题，也就是NP完全问题。由此看来，面对一个上千上万个格子的巨型雷区，不要说去完成所有扫雷任务，就仅仅判断它是不是可解的，都可能会是计算机也承受不了的的大难题。